ผลต่างระหว่างรุ่นของ "เฉลย"
Cardcaptor (คุย | มีส่วนร่วม) (→ข้อ 9) |
Cardcaptor (คุย | มีส่วนร่วม) (→ข้อ 10) |
||
| แถว 220: | แถว 220: | ||
<table cellpadding="5"> | <table cellpadding="5"> | ||
<tr> | <tr> | ||
| − | <td align="right"><math>\sqrt{n+2} + \sqrt{n+ | + | <td align="right"><math>\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1}</math></td> |
<td align="center"><math> > \,</math></td> | <td align="center"><math> > \,</math></td> | ||
<td align="left"><math>2\sqrt{n+1}</math></td> | <td align="left"><math>2\sqrt{n+1}</math></td> | ||
รุ่นแก้ไขปัจจุบันเมื่อ 20:06, 9 กรกฎาคม 2552
เนื้อหา
ข้อย่อย 1
สูตรคือ
base case: ให้
- เป็นจริง
inductive step: inductive hypothesis คือสมมติให้ p(n) คือ เป็นจริง ต้องการพิสูจน์ว่า p(n+1) คือ เป็นจริงด้วย
- จากที่สมมติไว้คือ
- บวกทั้งสองข้างของสมการด้วย
- จะได้
- ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า
ข้อย่อย 2
สูตรคือ
base case: ให้
- เป็นจริง
inductive step: inductive hypothesis คือสมมติให้ p(n)คือ เป็นจริง ต้องการพิสูจน์ว่า เป็นจริงด้วย
- จากที่สมมติไว้คือ
- บวก ทั้งสองข้างของสมการ
- จะได้
- ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า เป็นจริง
ข้อย่อย 3
(Base Case) เนื่องจาก เราได้ว่า
(Induction Case) สมมติให้ n เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 0 และสมมติให้สมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า
ฉะนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่าสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็ม n ที่ไม่เป็นลบทุกจำนวน
ข้อย่อย 4
base case: คือ n=5 แทนค่าจะได้
- เป็นจริง
inductive step: inductive hypothesis คือ สมมติให้ p(n) คือ เป็นจริง ต้องการแสดงว่า เป็นจริงด้วย
- จากที่สมมติ
- คูณ 2 ทั้งสองข้างของสมการจะได้
- เนื่องจาก n>4
- ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า เป็นจริง เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 4
ข้อย่อย 5
(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 2 และเราได้ว่า
(Induction Case) สมมติให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 2 และให้สมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า
ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนจริง ทุกจำนวน
ข้อย่อย 6
(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 0 และเราได้ว่า ซึ่งหารด้วย 6 ได้ลงตัว
(Induction Case) สมมติว่า n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และสมมติให้ หารด้วย 6 ลงตัว
พิจารณาค่า
เราได้ว่า 6 หาร ลงตัวเนื่องจาก 3 หาร ลงตัว นอกจากนี้ 2 ยังหาร ลงตัวเนื่องจากในค่า และ ลงตัว จะต้องมีสักตัวที่เป็นจำนวนคู่
เนื่องจาก 6 หารทั้ง และ ลงตัว เราจึงได้ว่า 6 หาร ลงตัวด้วย
ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า 6 หาร ลงตัวสำหรับจำนวนเต็ม n ที่ไม่เป็นลบทุกจำนวน
ข้อย่อย 7
ก่อนเราจะทำการพิสูจน์ข้อความในโจทย์ เราจะทำการพิสูจน์ lemma ต่อไปนี้
lemma: ให้ , , และ เป็นเซตใดๆ ที่ และ แล้ว
พิสูจน์ (lemma): ให้ x เป็นค่าใดๆ สมมติให้ เราได้ว่า และ
เนื่องจาก และ เราได้ว่า และ ด้วย ดังนั้น
เนื่องจาก x เป็นค่าใดๆ เราจึงสามารถสรุปได้ว่า ฉะนั้น
พิสูจน์ (โจทย์)
(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 ในกรณีนี้เราได้ว่า
(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้ข้อความที่โจทย์ต้องการพิสูจน์เป็นจริง
เราได้ว่า และ
โจทย์กำหนดว่า และจาำกสมมติฐานเราได้ว่า ฉะนั้นด้วย lemma เราได้ว่า
ฉะนั้นเราจึงสรุปได้ว่าข้อความในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกค่า
ข้อย่อย 8
(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 และเราจะได้ว่า
(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 0 และสมมติให้สมการในโจทย์เป็นจริง ได้ว่า
ดังนั้นเราสรุปได้ว่าสมการเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน
ข้อ 9
(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 และเราได้ว่า ซึ่งหารด้วย 21 ลงตัว
(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้ หารด้วย 21 ลงตัว
เราได้ว่า
จากสมมติฐาน เราได้ว่า 21 หาร ลงตัว ดังนั้นมันจึงหาร ลงตัว และเนื่องจาก 21 หาร ลงตัว เราจึงได้ว่า 21 หาร
ฉะนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่า 21 หาร ลงตัวสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน
ข้อ 10
lemma: สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ
พิสูจน์ (lemma): เราได้ว่า
พิสูจน์ (โจทย์)
(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 เราได้ว่า
(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้อสมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า
ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าอสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกตัว
