418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ II/เฉลยข้อ 1

ข้อย่อย 1

สูตรคือ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 921047095
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:27 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$

base case: ให้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 909744410
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:27 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$n=1$

${\frac {1}{2^{1}}}={\frac {2^{1}-1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}$ เป็นจริง

inductive step: inductive hypothesis คือสมมติให้ p(n) คือ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 932054868
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:28 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$ เป็นจริง ต้องการพิสูจน์ว่า p(n+1) คือ ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {2^{n+1}-1}{2^{n+1}}}$ เป็นจริงด้วย

จากที่สมมติไว้คือ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 932578681
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:28 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$

บวกทั้งสองข้างของสมการด้วย

จะได้ ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 890318233
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:29 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$={\frac {2^{n+1}-2}{2^{n+1}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}$

$={\frac {2^{n+1}-1}{2^{n+1}}}$

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 912431550
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:49 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$

ข้อย่อย 2

สูตรคือ

base case: ให้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 933955239
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:29 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$n=1$

เป็นจริง

inductive step: inductive hypothesis คือสมมติให้ p(n)คือ ${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {n}{n+1}}$ เป็นจริง ต้องการพิสูจน์ว่า เป็นจริงด้วย

จากที่สมมติไว้คือ ${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {n}{n+1}}$

บวก ทั้งสองข้างของสมการ

จะได้

$={\frac {n}{(n+1)}}.{\frac {(n+2)}{(n+2)}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 933660387
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:30 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$={\frac {(n+1)(n+1)}{(n+1)(n+2)}}$

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า ${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {n}{n+1}}$ เป็นจริง

ข้อย่อย 3

(Base Case) เนื่องจาก เราได้ว่า

(Induction Case) สมมติให้ n เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 0 และสมมติให้สมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า

Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 926386063 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:31 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $1^{2}+3^{2}+\dotsb +(2(n+1)+1)^{2}\,$	$=\,$
		Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 938967089 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:58 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 ${\frac {(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3}}+(2n+3)^{2}\,$
	$=\,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 906795518 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:32 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $(2n+3){\bigg [}{\frac {(n+1)(2n+1)}{3}}+(2n+3){\bigg ]}\,$
	$=\,$
	$=\,$	$(2n+3){\bigg [}{\frac {2n^{2}+9n+10}{3}}{\bigg ]}\,$
	$=\,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 844718862 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:32 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $(2n+3){\frac {(n+2)(2n+5)}{3}}\,$
	$=\,$

ฉะนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่าสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็ม n ที่ไม่เป็นลบทุกจำนวน

ข้อย่อย 4

base case: คือ n=5 แทนค่าจะได้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 934316210
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:33 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$2^{5}>5^{2}$ เป็นจริง

inductive step: inductive hypothesis คือ สมมติให้ p(n) คือ เป็นจริง ต้องการแสดงว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 905910834
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:33 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$2^{n+1}>(n+1)^{2}$ เป็นจริงด้วย

จากที่สมมติ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 890350731
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:50:03 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$2^{n}>n^{2}$

คูณ 2 ทั้งสองข้างของสมการจะได้

$2.2^{n}>2.n^{2}$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 854579226
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:34 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$2^{n+1}>n^{2}+n^{2}$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 911317060
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:34 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$\geq n^{2}+5n$ เนื่องจาก n>4

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 906303547
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:34 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$=(n+1)^{2}$

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า $2^{n}>n^{2}$ เป็นจริง เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 4

ข้อย่อย 5

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 2 และเราได้ว่า

(Induction Case) สมมติให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 2 และให้สมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า

Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 889106536 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:34 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $1+{\frac {1}{4}}+\dotsb +{\frac {1}{n+1}}^{2}\,$	$=\,$
	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 818446021 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:50:08 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $<\,$
	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 889106545 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:35 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $<\,$	$2-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n(n+1)}}\,$
	$=\,$
	$=\,$	$2-{\frac {1}{n+1}}\,$

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนจริง $n>1$ ทุกจำนวน

ข้อย่อย 6

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 0 และเราได้ว่า ซึ่งหารด้วย 6 ได้ลงตัว

(Induction Case) สมมติว่า n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และสมมติให้ $n^{3}-n$ หารด้วย 6 ลงตัว

พิจารณาค่า $(n+1)^{3}-(n+1)=n^{3}+3n^{2}+3n+1-n-1=(n^{3}-n)+3n^{2}+3n=(n^{3}-n)+3n(n+1)$

เราได้ว่า 6 หาร

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 936708358
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:37 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$3n(n+1)$ ลงตัวเนื่องจาก 3 หาร ลงตัว นอกจากนี้ 2 ยังหาร $3n(n+1)$ ลงตัวเนื่องจากในค่า $n$ และ $n+1$ ลงตัว จะต้องมีสักตัวที่เป็นจำนวนคู่

เนื่องจาก 6 หารทั้ง $n^{3}-n$ และ $3n(n+1)$ ลงตัว เราจึงได้ว่า 6 หาร

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 916132916
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:38 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$(n^{3}-n)+3n(n+1)=(n+1)^{3}-(n+1)$ ลงตัวด้วย

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า 6 หาร $n^{3}-n$ ลงตัวสำหรับจำนวนเต็ม n ที่ไม่เป็นลบทุกจำนวน

ข้อย่อย 7

ก่อนเราจะทำการพิสูจน์ข้อความในโจทย์ เราจะทำการพิสูจน์ lemma ต่อไปนี้

lemma: ให้ ,

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 877805418
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:39 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$B\,$,

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 937035144
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:39 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$C\,$ และ $D\,$ เป็นเซตใดๆ ที่ และ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 920620883
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:39 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$B\subseteq D\,$ แล้ว $A\cap B\subseteq C\cap D$

พิสูจน์ (lemma): ให้ x เป็นค่าใดๆ สมมติให้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 909056117
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:40 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$x\in A\cap B$ เราได้ว่า และ $x\in B$

เนื่องจาก และ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 933627194
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:40 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$B\subseteq D$ เราได้ว่า $x\in C$ และ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 924911890
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:41 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$x\in D$ ด้วย ดังนั้น

เนื่องจาก x เป็นค่าใดๆ เราจึงสามารถสรุปได้ว่า $\forall x,[x\in A\cap B\rightarrow x\in C\cap D]$ ฉะนั้น

พิสูจน์ (โจทย์)

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 ในกรณีนี้เราได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 931792372
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:41 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$\bigcap _{i=1}^{1}A_{i}=A\subseteq B=\bigcap _{i=1}^{1}B_{i}\,$

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้ข้อความที่โจทย์ต้องการพิสูจน์เป็นจริง

เราได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 887665782
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:50:21 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$\bigcap _{i=1}^{n+1}A_{i}=A_{n+1}\cap \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}$ และ

โจทย์กำหนดว่า และจาำกสมมติฐานเราได้ว่า ฉะนั้นด้วย lemma เราได้ว่า

ฉะนั้นเราจึงสรุปได้ว่าข้อความในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกค่า

ข้อย่อย 8

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 และเราจะได้ว่า

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 0 และสมมติให้สมการในโจทย์เป็นจริง ได้ว่า

Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 916559165 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:50:26 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $1\cdot 2^{0}+2\cdot 2^{1}+\dotsb +(n+1)\cdot 2^{n}\,$	$=\,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 936577225 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:50:27 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $(1\cdot 2^{0}+2\cdot 2^{1}+\dotsb +n\cdot 2^{n-1})+(n+1)\cdot 2^{n}\,$
		Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 912135639 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:42 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $(n-1)2^{n}+1+(n+1)\cdot 2^{n}\,$
	$=\,$

ดังนั้นเราสรุปได้ว่าสมการเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน

ข้อ 9

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 และเราได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 915413027
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:42 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$4^{1+1}+5^{2\cdot 1-1}=16+5=21$ ซึ่งหารด้วย 21 ลงตัว

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้ หารด้วย 21 ลงตัว

เราได้ว่า

จากสมมติฐาน เราได้ว่า 21 หาร $4^{n+1}+5^{2n-1}$ ลงตัว ดังนั้นมันจึงหาร ลงตัว และเนื่องจาก 21 หาร ลงตัว เราจึงได้ว่า 21 หาร $25(4^{n+1}+5^{2n-1})+21\cdot 4^{n+1}=4^{n+2}+5^{2n+1}$

ฉะนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่า 21 หาร ลงตัวสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน

ข้อ 10

lemma: สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ

พิสูจน์ (lemma): เราได้ว่า

Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 915969731 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:43 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 ${\sqrt {n+2}}+{\sqrt {n+1}}$		Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 871711863 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:44 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $2{\sqrt {n+1}}$
Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 878984386 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:44 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $({\sqrt {n+2}}+{\sqrt {n+1}}){\frac {{\sqrt {n+2}}-{\sqrt {n+1}}}{{\sqrt {n+2}}-{\sqrt {n+1}}}}$	$>\,$
Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 912169278 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:45 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 ${\frac {1}{{\sqrt {n+2}}-{\sqrt {n+1}}}}$
Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 857983888 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:49:45 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $2{\sqrt {n+1}}+{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}$	$>\,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 921014805 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 18 Mar 2026 20:50:39 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $2{\sqrt {n+2}}$

พิสูจน์ (โจทย์)

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 เราได้ว่า $1>0.82842712474619029\dotsb =2({\sqrt {1+1}}-1)\,$

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้อสมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าอสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกตัว