418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ II/เฉลยข้อ 1

ข้อย่อย 1

สูตรคือ ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$

base case: ให้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 363376193
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:33 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$n=1$

เป็นจริง

inductive step: inductive hypothesis คือสมมติให้ p(n) คือ ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$ เป็นจริง ต้องการพิสูจน์ว่า p(n+1) คือ เป็นจริงด้วย

จากที่สมมติไว้คือ ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$

บวกทั้งสองข้างของสมการด้วย

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 373790603
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:48 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{2^{n+1}}}$

จะได้

$={\frac {2}{2}}.{\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 374972311
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:49 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$={\frac {2^{n+1}-2}{2^{n+1}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 343722571
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:50 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$={\frac {2^{n+1}-1}{2^{n+1}}}$

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า

ข้อย่อย 2

สูตรคือ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 351001406
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:35 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {n}{n+1}}$

base case: ให้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 370582499
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:35 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{1(1+1)}}={\frac {1}{1+1}}={\frac {1}{2}}$ เป็นจริง

inductive step: inductive hypothesis คือสมมติให้ p(n)คือ เป็นจริง ต้องการพิสูจน์ว่า เป็นจริงด้วย

จากที่สมมติไว้คือ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 382403728
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:35 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {n}{n+1}}$

บวก ทั้งสองข้างของสมการ

จะได้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 382600565
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:36 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$={\frac {(n+1)(n+1)}{(n+1)(n+2)}}$

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า เป็นจริง

ข้อย่อย 3

(Base Case) เนื่องจาก เราได้ว่า $1=(2\cdot 0+1)^{2}=(0+1)(2\cdot 0+1)(2\cdot 0+3)/3\,$

(Induction Case) สมมติให้ n เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 0 และสมมติให้สมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า

	$=\,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 370319286 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:59 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $(1^{2}+3^{2}+\dotsb +(2n+1)^{2})+(2n+3)^{2}\,$
	$=\,$
	$=\,$
	$=\,$
	$=\,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 375298554 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:37 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 ${\frac {((n+1)+1)((2(n+1)+1)(2(n+1)+3)}{3}}\,$

ฉะนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่าสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็ม n ที่ไม่เป็นลบทุกจำนวน

ข้อย่อย 4

base case: คือ n=5 แทนค่าจะได้

$2^{5}>5^{2}$ เป็นจริง

inductive step: inductive hypothesis คือ สมมติให้ p(n) คือ เป็นจริง ต้องการแสดงว่า เป็นจริงด้วย

จากที่สมมติ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 361876685
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:38 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$2^{n}>n^{2}$

คูณ 2 ทั้งสองข้างของสมการจะได้

เนื่องจาก n>4

$\geq n^{2}+2n+1$

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 357610824
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:38 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$2^{n}>n^{2}$ เป็นจริง เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 4

ข้อย่อย 5

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 2 และเราได้ว่า

(Induction Case) สมมติให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 2 และให้สมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า

		Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 383550690 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:39 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $2-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{(n+1)^{2}}}\,$
	$=\,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 345435870 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:39 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $2-{\frac {1}{n}}{\Bigg [}1-{\frac {1}{n+1}}{\Bigg ]}\,$
	$=\,$

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนจริง ทุกจำนวน

ข้อย่อย 6

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 0 และเราได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 373331961
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:18:16 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$0^{3}-0=0$ ซึ่งหารด้วย 6 ได้ลงตัว

(Induction Case) สมมติว่า n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และสมมติให้ หารด้วย 6 ลงตัว

พิจารณาค่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 367703201
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:40 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$(n+1)^{3}-(n+1)=n^{3}+3n^{2}+3n+1-n-1=(n^{3}-n)+3n^{2}+3n=(n^{3}-n)+3n(n+1)$

เราได้ว่า 6 หาร ลงตัวเนื่องจาก 3 หาร ลงตัว นอกจากนี้ 2 ยังหาร

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 380111645
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:40 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$3n(n+1)$ ลงตัวเนื่องจากในค่า $n$ และ ลงตัว จะต้องมีสักตัวที่เป็นจำนวนคู่

เนื่องจาก 6 หารทั้ง

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 379129195
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:41 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$n^{3}-n$ และ ลงตัว เราจึงได้ว่า 6 หาร

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 383649094
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:18:21 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$(n^{3}-n)+3n(n+1)=(n+1)^{3}-(n+1)$ ลงตัวด้วย

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า 6 หาร

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 346119934
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:41 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$n^{3}-n$ ลงตัวสำหรับจำนวนเต็ม n ที่ไม่เป็นลบทุกจำนวน

ข้อย่อย 7

ก่อนเราจะทำการพิสูจน์ข้อความในโจทย์ เราจะทำการพิสูจน์ lemma ต่อไปนี้

lemma: ให้ ,

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 381452888
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:18:23 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$B\,$, และ เป็นเซตใดๆ ที่

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 368980877
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:18:25 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$A\subseteq C\,$ และ $B\subseteq D\,$ แล้ว

พิสูจน์ (lemma): ให้ x เป็นค่าใดๆ สมมติให้ เราได้ว่า และ $x\in B$

เนื่องจาก และ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 360001136
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:41 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$B\subseteq D$ เราได้ว่า $x\in C$ และ ด้วย ดังนั้น

เนื่องจาก x เป็นค่าใดๆ เราจึงสามารถสรุปได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 376181316
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:42 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$\forall x,[x\in A\cap B\rightarrow x\in C\cap D]$ ฉะนั้น

พิสูจน์ (โจทย์)

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 ในกรณีนี้เราได้ว่า

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้ข้อความที่โจทย์ต้องการพิสูจน์เป็นจริง

เราได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 376181546
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:18:32 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$\bigcap _{i=1}^{n+1}A_{i}=A_{n+1}\cap \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}$ และ

โจทย์กำหนดว่า $A_{n+1}\subseteq B_{n+1}$ และจาำกสมมติฐานเราได้ว่า ฉะนั้นด้วย lemma เราได้ว่า

ฉะนั้นเราจึงสรุปได้ว่าข้อความในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกค่า

ข้อย่อย 8

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 และเราจะได้ว่า $1\cdot 2^{1-1}=1=(1-1)2^{1}+1$

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 0 และสมมติให้สมการในโจทย์เป็นจริง ได้ว่า

Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 352670128 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:18:37 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $1\cdot 2^{0}+2\cdot 2^{1}+\dotsb +(n+1)\cdot 2^{n}\,$
	$=\,$
		Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 360789461 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:43 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $(2n)\cdot 2^{n}+1\,$
	$=\,$

ดังนั้นเราสรุปได้ว่าสมการเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน

ข้อ 9

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 และเราได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 384697966
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:43 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$4^{1+1}+5^{2\cdot 1-1}=16+5=21$ ซึ่งหารด้วย 21 ลงตัว

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้ หารด้วย 21 ลงตัว

เราได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 378113406
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:44 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$4^{n+2}+5^{2n+1}=4\cdot 4^{n+1}+25\cdot 5^{2n-1}=(25-21)4^{n+1}+25\cdot 5^{2n-1}=25(4^{n+1}+5^{2n-1})+21\cdot 4^{n+1}$

จากสมมติฐาน เราได้ว่า 21 หาร ลงตัว ดังนั้นมันจึงหาร

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 376968178
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:44 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$25(4^{n+1}+5^{2n-1})$ ลงตัว และเนื่องจาก 21 หาร ลงตัว เราจึงได้ว่า 21 หาร

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 384534579
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:18:43 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$25(4^{n+1}+5^{2n-1})+21\cdot 4^{n+1}=4^{n+2}+5^{2n+1}$

ฉะนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่า 21 หาร ลงตัวสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน

ข้อ 10

lemma: สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 364523563
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:44 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$2{\sqrt {n+1}}+{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}>2{\sqrt {n+2}}$

พิสูจน์ (lemma): เราได้ว่า

	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 357088697 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:44 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $>\,$
	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 346451230 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:18:47 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $>\,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 382239751 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:45 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $2{\sqrt {n+1}}$
Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 335766869 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:18:48 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 ${\frac {1}{{\sqrt {n+2}}-{\sqrt {n+1}}}}$		Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 347753662 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:45 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $2{\sqrt {n+1}}$
		Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 381518773 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:17:45 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $2{\sqrt {n+2}}-2{\sqrt {n+1}}$

พิสูจน์ (โจทย์)

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 เราได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 381290011
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 23 Jan 2026 18:18:53 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$1>0.82842712474619029\dotsb =2({\sqrt {1+1}}-1)\,$

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้อสมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าอสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกตัว