418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการวิเคราะห์เชิงการจัด/เฉลยข้อ 6

ข้อ 1

สำหรับ $i=1,2,\ldots ,6\,$ ให้ $x'_{i}=x_{i}-1\,$ เราได้ว่า $x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{6}=(x'_{1}+1)+(x'_{2}+1)+\dotsb +(x'_{6}+1)=x'_{1}+x'_{2}+\dotsb +x'_{6}+6=29\,$ ดังนั้น $x'_{1}+x'_{2}+\dotsb +x'_{6}=23\,$

ฉะนั้นจำนวนคำตอบของสมการ $x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{6}$ โดยที่ $x_{i}\geq 1\,$ จึงมีจำนวนเท่ากับจำนวนคำตอบของสมการ $x'_{1}+x'_{2}+\dotsb +x'_{6}=23\,$ โดยที่ $x'_{i}\geq 0\,$ ซึ่งมีจำนวนเท่ากับ ${23+6-1 \choose 23}=98280\,$

ข้อ 2

สำหรับ $i=1,2,\ldots ,6\,$ ให้ $x'_{i}=x_{i}-i\,$ เราได้ว่า $x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{6}=(x'_{1}+1)+(x'_{2}+2)+\dotsb +(x'_{6}+6)=x'_{1}+x'_{2}+\dotsb +x'_{6}+21=29\,$ ดังนั้น $x'_{1}+x'_{2}+\dotsb +x'_{6}=8\,$

ฉะนั้นจำนวนคำตอบของสมการ $x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{6}$ โดยที่ $x_{i}\geq 1\,$ จึงมีจำนวนเท่ากับจำนวนคำตอบของสมการ $x'_{1}+x'_{2}+\dotsb +x'_{6}=8\,$ โดยที่ $x'_{i}\geq 0\,$ ซึ่งมีจำนวนเท่ากับ ${8+6-1 \choose 8}=1287\,$

ข้อ 3

สมการ $x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{6}=29\,$ โดยที่ $x_{i}\geq 0$ มีจำนวนคำตอบทั้งหมด ${29+6-1 \choose 29}=278256$ คำตอบ

เราจะนับจำนวนคำตอบของสมการ $x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{6}=29\,$ โดยที่ $x_{1}>5\,$ ซึ่งหมายความว่า $x_{1}\geq 6\,$ ให้ $x'_{1}=x_{1}-6\,$ เราได้ว่า $x'_{1}+x_{2}+x_{3}+\dotsb +x_{6}=23\,$ โดยที่ $x'_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{6}\geq 0\,$ ฉะนั้นจึงมีจำนวนคำตอบทั้งหมดเท่ากับ ${23+6-1 \choose 23}=98280\,$

ฉะนั้นมีจำนวนคำตอบของสมการ $x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{6}=29\,$ โดยที่ $x_{1}\leq 5\,$ เท่ากับ $278256-98280=179976\,$

ข้อ 4

ใช้การให้เหตุผลในข้อ 3 เราได้ว่าสมการ $x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{6}=29\,$ โดยที่ $x_{2}>8\,$ มีจำนวนคำตอบทั้งหมด ${(29-9)+6-1 \choose 29-9}=53130$ คำตอบ

ใช้การให้เหตุผลเช่นเดิม เราได้ว่าสมการ $x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{6}=29\,$ โดยที่ $x_{2}>8\,$ และ $x_{1}>8\,$ มีจำนวนคำตอบทั้งหมด ${(29-9-9)+6-1 \choose 29-9-9}={16 \choose 11}=4368$ คำตอบ

ดังนั้นสมการ $x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{6}=29\,$ โดยที่ $x_{2}>8\,$ และ $x_{1}\leq 8\,$ จึงมีจำนวนคำตอบทั้งหมด $53130-4368=48762\,$