418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ II

ข้อ 1

จงใช้การอุปนัยทางคณิตศาสตร์แก้ปัญหาต่อไปนี้

1. จงหาสูตรอย่างง่ายของ ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}$ และพิสูจน์ว่ามันถูกต้อง
2. จงหาสูตรอย่างง่ายของ ${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}$ และพิสูจน์ว่ามันถูกต้อง
3. จงแสดงว่า $1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots +(2n+1)^{2}=(n+1)(2n+1)(2n+3)/3$ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ
4. จงแสดงว่า $2^{n}>n^{2}$ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 4
5. จงแสดงว่า $1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}<2-{\frac {1}{n}}$ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 1
6. จงแสดงว่า 6 หาร $n^{3}-n$ ลงตัวเมื่อ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ
7. ให้ $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots ,A_{n}$ และ $B_{1},B_{2},B_{n},\ldots ,B_{n}$ โดยที่ $A_{i}\subseteq B_{i}$ สำหรับ $i=1,2,3,\ldots ,n$ จงพิสูจน์ว่า $\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\subseteq \bigcap _{i=1}^{n}B_{n}$
8. จงแสดงว่า $1\cdot 2^{0}+2\cdot 2^{1}+3\cdot 2^{2}+\cdots +n\cdot 2^{n-1}=(n-1)2^{n}+1$ สำหรับจำนวนเต็ม n ที่มีค่าไม่เป็นลบ
9. จงแสดงว่า 21 หาร $4^{n+1}+5^{2n-1}$ ลงตัวเมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก
10. จงแสดงว่า $1+{\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}+\cdots +{\frac {1}{\sqrt {n}}}>2({\sqrt {n+1}}-1)$

เฉลย

ข้อ 2

จงแสดงว่าถ้าเราวาดเส้นตรง n เส้นลงบนระนาบ โดยที่เส้นตรงนี้ไม่ีเส้นตรงสองเส้นใดๆ ขนานกัน และไม่มีเส้นตรงสามเส้นใดๆ ตัดกันที่จุดจุดเดียวกันแล้ว เส้นตรงทั้ง n แล้วเหล่านี้จะแบ่งระนาบออกเป็น ${\frac {n^{2}+n+2}{2}}$ ส่วน

เฉลย

ข้อ 3

ถ้า $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}$ เป็นจำนวนจริงบวก จงแสดงว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ${\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}}{n}}$ มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ${\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}}$ เสมอ

เฉลย

ข้อ 4

จงเขียนนิยามแบบเวียนบังเกิดของลำดับ $\{a_{n}\}$ โดยที่ $a_{n}=1,2,3,\ldots$ เมื่อ

1. $a_{n}=4n-2$
2. $a_{n}=n(n+1)$
3. $a_{n}=1+(-1)^{n}$
4. $a_{n}=n^{2}$

เฉลย

ข้อ 5

ให้ $f_{n}$ เป็นจำนวนฟิโบนักชีตัวที่ n

1. จงแสดงว่า $f_{1}^{2}+f_{2}^{2}+f_{3}^{2}+\dotsb +f_{n}^{2}=f_{n}f_{n+1}$ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก
2. จงแสดงว่า $f_{1}+f_{3}+\cdots +f_{2n-1}=f_{2n}$ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก
3. จงแสดงว่า $f_{n+1}f_{n-1}-f_{n}^{2}=(-1)^{n}$ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก

เฉลย

ข้อ 6

1. จงให้นิยามแบบเวียนบังเกิดของฟังก์ชัน $\max(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ และ $\min(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ ซึ่งมีค่าเท่ากับค่าที่มากที่สุดและค่าที่น้อยที่สุดของจำนวนจริง $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ ตามลำดับ
2. จงพิสูจน์ว่า $\max(-a_{1},-a_{2},\ldots ,-a_{n})=-\min(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$
3. จงพิูสูจน์ว่า $\max(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots ,a_{n}+b_{n})\leq \max(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})+\max(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$
4. จงพิูสูจน์ว่า $\min(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots ,a_{n}+b_{n})\geq \min(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})+\min(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$

เฉลย

ข้อ 7

จงให้นิยามแบบเวียนบังเกิดของเซตต่อไปนี้

1. เซตของจำนวนเต็มคู่
2. เซตของจำนวนเต็มบวกที่มีค่าเท่ากับ $3^{k}$ เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ
3. เซตของพหุนามในตัวแปร x ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
4. เซตของจำนวนเต็มที่คอนกรูเอนซ์กับ 2 มอดูโล 3
5. เซตของจำนวนเต็มที่ 5 หารไม่ลงตัว

เฉลย

ข้อ 8

1. จงให้นิยามแบบเวียนบังเกิดของสตริงเขียนกลับ (สตริงเขียนกลับของสตริงหนึ่งๆ คือสตริงที่ได้จากการเขียนสตริงนั้นจากหลังไปหน้า เช่น สตริงเขียนกลับของ abc คือ cba)
2. จงให้นิยามแบบเวียนบังเกิดของสตริงที่เป็นพาลินโดรม (สตริงที่เป็นพาลินโดรมคือสตริงที่มีค่าเท่ากับสตริงเขียนกลับของตัวมันเอง เช่น abcba หรือ abba เป็นต้น)
3. ให้ $x^{R}$ แทนสตริงเขียนกลับของ $x$ จงแสดงว่าสำหรับสตริง x และ y ใดๆ เราได้ว่า $(xy)^{R}=y^{R}x^{R}$

เฉลย

ข้อ 9

ให้ $T_{0}=2,T_{1}=3,T_{2}=6\,$ และสำหรับค่า $n\geq 3$ ทุกค่า

$T_{n}=(n+4)T_{n-1}-4nT_{n-2}+(4n-8)T_{n-3}\,$

ค่าของลำัดับนี้เทอมแรกๆ จำนวนหนึ่งได้แก่ 2, 3, 6, 14, 40, 152, 784, 5168, 40576, และ 363392 จงหาสูตรของ $T_{n}\,$ ในรูป $T_{n}=A_{n}+B_{n}\,$ เมื่อ $\{A_{n}\}\,$ และ $\{B_{n}\}\,$ เป็นลำดับที่เราๆ รู้จักกันดี

เฉลย