418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ I

ข้อ 1

ข้อความต่อไปนี้ใช้กฎการอ้างเหตุผลข้อใด?

1. จิงโจ้อาศัยอยู่ในทวีปออสเตรเลียและเป็นสัตว์ที่มีกระเป๋าหน้าท้อง ดังนั้นจิงโจ้เป็นสัตว์ที่มีกระเป๋าหน้าท้อง
2. เป็นความจริงที่วันนี้อากาศร้อนเกิน 40 องศาเซลเซียส หรือมลภาวะเป็นอันตรายต่อมนุษย์ และเป็นความจริงที่วันนี้อากาศเย็นกว่า 40 องศาเซลเซียส ดังนั้นมลภาวะเป็นอันตรายต่อมนุษย์
3. สมชายว่ายน้ำเก่ง และถ้าสมชายว่ายน้ำเก่งแล้วเขาสามารถทำงานเป็นไลฟ์การ์ดได้ ฉะนั้นสมชายสามารถทำงานเป็นไลฟ์การ์ได้
4. สมปองจะทำงานที่บริษัทแห่งหนึ่งในฤดูร้อนนี้ ดังนั้นในฤดูร้อนนี้เขาจะทำงานที่บริษัท หรือไม่ก็เดินเตร็ดเตร่ที่ชายหาดไปวันๆ
5. ถ้าฉันใช้เวลาทั้งคืนทำการบ้าน ฉันจะสามารถตอบโจทย์ได้ทุกข้อ ถ้าฉันตอบโจทย์ได้ทุกข้อ ฉันจะเข้าใจบทเรียน ดังนั้นถ้าฉันใช้เวลาทั้งคืนทำการบ้าน ฉันจะเข้าใจบทเรียน

เฉลย

ข้อ 2

จงพิจารณาว่าการให้เหตุผลต่อไปนี้ถูกต้องหรือไม่ และถ้ามันถูกต้อง มันใ้ช้กฎการอ้างเหตุผลข้อใด?

1. ถ้า n เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 1 แล้ว $n^{2}>1$ สมมติว่า $n^{2}>1$ ได้ว่า $n>1$
2. จำนวน $\log _{2}3$ เป็นจำนวนอตรรกยะถ้าหากมันไม่ใช่อัตราส่วนระหว่างจำนวนเต็มสองจำนวน ดังนั้น เนื่องจากเราไม่สามารถเขียน $\log _{2}3$ ในรูป a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มได้ ดังนั้นมันจึงเป็นจำนวนอตรรกยะ
3. ถ้า n เป็นจำนวนจริงที่มีค่ามากกว่า 3 แล้ว $n^{2}>9$ สมมติว่า $n^{2}\leq 9$ ได้ว่า $n\leq 3$
4. จำนวนเต็มบวกตัวหนึ่งเป็นกำลังสองสมบูรณ์หรือไม่ก็มีจำนวนตัวหารเป็นจำนวนคู่ ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีจำนวนตัวหารเป็นจำนวนคี่ แล้ว n เป็นกำลังสองสมบูรณ์
5. ถ้า n เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 2 แล้ว $n^{2}>4$ สมมติว่า $n\leq 2$ แล้ว $n^{2}\leq 4$

เฉลย

ข้อ 3

1. ให้ a และ b เป็นจำนวนจริง จงแสดงว่าถ้า $a<b<0$ แล้ว $a^{2}>b^{2}$
2. ให้ a เป็นจำนวนจริง จงแสดงว่าถ้า $a^{3}>a$ แล้ว $a^{5}>a$
3. ให้ a และ b เป็นจำนวนจริง จงแสดงว่าถ้า $a<b$ แล้ว ${\frac {a+b}{2}}<b$
4. ให้ a, b, c, และ d เป็นจำนวนจริงโดยที่ $0<a<b$ และ $d>0$ จงแสดงว่าถ้า $ac\geq bd$ แล้ว $c>d$
5. ให้ $A-B\subseteq C\cap D$ และให้ $x\in A$ จงแสดงว่าถ้า $x\not \in D$ แล้ว $x\in B$

เฉลย

ข้อ 4

1. ให้ $A\subseteq C$ และให้ $B\cap C=\emptyset$ จงแสดงว่าถ้า $x\in A$ แล้ว $x\not \in B$
2. ให้ $(A-B)\cap C=\emptyset$ และให้ $x\in A$ จงแสดงว่าถ้า $x\in C$ แล้ว $x\in B$
3. ให้ $y+x=2y-x$ และให้ x และ y ไม่เท่ากับ 0 ทั้งคู่ (อาจมีตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0 ก็ได้) จงแสดงว่า $y\neq 0$
4. ให้ x และ y เป็นจำนวนจริง จงพิสูจน์ว่า ถ้า $x\neq 0$ แล้ว ถ้า $y={\frac {3x^{2}+2y}{x^{2}+2}}$ แล้ว $y=3$

เฉลย

ข้อ 5

1. จงแสดงว่าถ้า $A\cap (B-C)=\emptyset$ แล้ว $A\cap B\subseteq C$
2. ให้ x เป็นจำนวนจริง จงแสดงว่าถ้า $x\neq 1$ แล้วมีจำนวนจริง y ที่ทำให้สมการ ${\frac {y+1}{y+2}}=x$ เป็นจริง
3. จงแสดงว่าสำหรับจำนวนจริง x ทุกจำนวนที่ $x>2$ มีจำนวนจริง y ที่ทำให้สมการ $y+{\frac {1}{y}}=x$ เป็นจริง

เฉลย

ข้อ 6

1. จงแสดงว่า สำหรับจำนวนเต็ม n ทุกตัว $n^{3}$ จะเป็นจำนวนคู่ ก็่ต่อเมื่อ n เป็นจำนวนคู่
2. จงแสดงว่า $\forall x\in \mathbb {R} ,\exists y\in \mathbb {R} [(x+y=xy)\leftrightarrow x\neq 1]$
3. จงแสดงว่า $A\subseteq B$ ก็ต่อเมื่อ $P(A)\subseteq P(B)$
4. จงแสดงว่า สำหรับจำนวนเต็ม n ทุกจำนวน 15 หาร n ลงตัว ก็ต่อเมื่อ 3 หาร n ลงตัวและ 5 หาร n ลงตัว
5. จงแสดงว่า สำหรับจำนวนเต็ม a และ b ใดๆ มีจำนวนเต็ม c ที่ a หาร c ลงตัวและ b หาร c ลงตัว

เฉลย

ข้อ 7

1. จงแสดงว่า สำหรับจำนวนเต็ม x ใดๆ $x^{2}+x$ เป็นจำนวนคู่
2. จงแสดงว่า สำหรับจำนวนเต็ม x ใดๆ ถ้า $|x-3|>3$ แล้ว $x^{2}>6x$

เฉลย