Spectral Graph Theory
บทนำและทบทวนพีชคณิตเชิงเส้น (ณัฐวุฒิ) เนื้อหา: Eigenvector, Eigenvalue คุณสมบัติของ Eigenvalue ต่อกราฟ (ธานี,ณัฐวุฒิ) เนื้อหา: ผลหาร Rayleigh, คุณสมบัติของเมตริกซ์ Laplacian ทดลอง: วาดกราฟจาก Eigenvector คุณสมบัติของ Eigenvalue ต่อกราฟ[2] (ภัทร) เนื้อหา: Eigen value properties คุณสมบัติของ Eigenvalue ลำดับที่สองบนกราฟต่างๆ (ธานี) เนื้อหา: Second eigen value Cheeger Inequality (ศุภชวาล) เนื้อหา: Cheeger Inequality การทดลอง Cheeger Inequality และ Effective Resistance (ธานี) เนื้อหา: Effective Resistance ทดลอง: หา cut ที่มีคุณสมบัติตรงกับ Cheeger Inequality Random Walks และ Psuedo Random Generator (ศุภชวาล) เนื้อหา: Random Walks Psuedo Random Generator[2] (ภัทร) เนื้อหา: Psuedo Random Generator Coding Theory และ Expander code (ธานี) เนื้อหา: Coding Theory Expander graph from Linear coding (ภัทร) เนื้อหา: Expander construction Chebyshev polynomial (ศุภชวาล) เนื้อหา: Chebyshev polynomial Preconditioning (ธานี) เนื้อหา: Preconditioning
แก้ไขกล่องนี้ • แก้ไขสารบัญ

บันทึกคำบรรยายวิชา Spectral graph theory นี้ เป็นบันทึกที่นิสิตเขียนขึ้น เนื้อหาโดยมากยังไม่ผ่านการตรวจสอบอย่างละเอียด การนำไปใช้ควรระมัดระวัง

ในสัปดาห์นี้ เราเรียนเรื่องการแก้สมการ Ax = b เมื่อกำหนดเมทริกซ์ A และ b ให้ได้อย่างรวดเร็ว

เรื่องแรกได้เรียนคือ ถ้าหากเรามีเมทริกซ์ B ที่ $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

\epsilon -approximate

เมทริกซ์ A และถ้าเราแก้สมการ Bx' = b ได้อย่างรวดเร็ว

x' จะเป็นคำตอบที่ห่างจาก x มากแค่ไหน

ซึ่งการจะบอกว่าห่างแค่ไหนนั้น เราจะใช้ตัวชี้วัดเป็นสิ่งที่เรียกว่า A-norm ซึ่งคล้ายกับ Eucilidian norm นิยามดังนี้

ให้ x เป็นเวคเตอร์ Euclidian norm ของ x เขียนแทนด้วย $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

||x||={\sqrt {x^{T}x}}

A-norm จะนิยามดังนี้ $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

||x||_{A}={\sqrt {x^{T}Ax}}

ให้ Ax = b และ Bx' = b เราจะจำกัดค่า $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

||x-x'||_{A}

ดังนี้

$Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

{\begin{aligned}||x-x'||_{A}&={\sqrt {(x-x')^{T}A(x-x')}}\\&={\sqrt {(x-B^{-1}b)^{T}A(x-B^{-1}b)}}\\&=||I-AB^{-1}||\cdot ||x||_{A}\end{aligned}}

ดังนั้น เราจะ bound ค่า norm ของ ด้วย eigenvalue ที่มากที่สุดของมัน . . . . . . ได้ไม่เกิน

Preconditioning

อีกวิธีที่ทำได้คือ ใช้ iterative method เหมือนที่เรียนในสัปดาห์ที่แล้ว แต่ก่อนที่จะทำนั้น เราจะหาเมทริกซ์ B ที่มีคุณสมบัติ.... มาคูณทั้งสองฝั่ง

ทำให้การแก้สมการ Ax = b กลายเป็นการแก้สมการ เพื่อให้ทำ iterative method ได้เร็วขึ้น

Sgt/lecture12

Error

Error

Error

Error

Error

Preconditioning

รายการเลือกการนำทาง

เครื่องมือส่วนตัว

เนมสเปซ

สิ่งที่แตกต่าง

ดู

เพิ่มเติม

ค้นหา

การนำทาง

เครื่องมือ