Sgt/lecture4

บันทึกคำบรรยายวิชา Spectral graph theory นี้ เป็นบันทึกที่นิสิตเขียนขึ้น เนื้อหาโดยมากยังไม่ผ่านการตรวจสอบอย่างละเอียด การนำไปใช้ควรระมัดระวัง

ในสัปดาห์นี้ เราได้พูดถึง Courant–Fischer Theorem

Courant–Fischer Theorem

ให้ A เป็น symmetric matrix ขนาด n ที่มี eigen value $\mu _{1}\geq \mu _{2}\geq \ldots \geq \mu _{n}$ (สังเกตว่าเรียงสลับด้านกับ $\lambda$ ในเลคเชอร์อื่นๆ)

เราจะได้ว่า

${\begin{aligned}\mu _{k}&=\max \limits _{S\subseteq \mathbb {R} ^{n}\ ;\ dim(S)=k}&&\min _{x\in S\ ;\ x\neq {\bar {0}}}{\frac {x^{T}Ax}{x^{T}x}}\\&=\min \limits _{T\subseteq \mathbb {R} ^{n}\ ;\ dim(T)=n-k+1}&&\max _{x\in S\ ;\ x\neq {\bar {0}}}{\frac {x^{T}Ax}{x^{T}x}}\end{aligned}}$

Graphic Inequality

เป็นการเปรียบเทียบกราฟโดยให้ sense ของการ "มากกว่า" "น้อยกว่า" เหมือนการเปรียบเทียบจำนวนจริง
ให้ A เป็น matrix ใดๆ เราเขียนแทนว่า A เป็น positive semi-definite ด้วย $A\succeq 0$ โดยนิยามดังนี้

$A\succeq 0\Leftrightarrow \forall \psi \in \mathbb {R} ^{n}\ ;\ \psi ^{T}A\psi \geq 0$

และสำหรับ matrix A,B ใดๆ เราเขียน $A\succeq B$ แทน $A-B\succeq 0$ โดยความสัมพันธ์นี้มีคุณสมบัติถ่ายทอด คือ

$A\succeq B\land B\succeq C\Rightarrow A\succeq C$

ทำนองเดียวกัน สำหรับกราฟ G,H ใดๆ เราเขียน $G\succeq H$ แทน $L_{G}\succeq L_{H}$ สังเกตว่า ถ้า H เป็น subgraph ของ G จะได้ว่า $G\succeq H$

และสำหรับจำนวนจริง c ใดๆเราเขียนแทน $G\succeq c\cdot H$ หมายถึง $L_{G}\succeq c\cdot L_{H}$

จากนิยามข้างต้น เราจะได้คุณสมบัติว่า (ในเนื้อหาครั้งนี้ไม่มีการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้)

ถ้า G,H เป็นกราฟที่มีคุณสมบัติว่า $G\succeq c\cdot H$ จะได้ว่า $\forall k\ ;\ \lambda _{k}(G)\geq c\cdot \lambda _{k}(H)$ เมื่อ $\lambda _{k}(G)$ หมายถึง eigen value ตัวที่ k ของกราฟ G

Path Inequality

ให้กราฟขนาด n โหนด $G_{1,n}\ ,P_{n}$ แทนกราฟที่มีเส้นเชื่อมเดียว (1,n) และกราฟที่มีเส้นเชื่อม n-1 เส้น $(1,2),(2,3),\ldots ,(n-1,n)$ ตามลำดับ

$(n-1)P_{n}\succeq G_{n}$

---

พิจารณา vector x ขนาด n ใดๆ เราต้องการจะแสดงว่า

${\begin{aligned}(n-1)x^{T}L_{P_{n}}x&\geq x^{T}L_{G_{n}}x\\(n-1)\sum \limits _{i=1}^{n-1}(x(i+1)-x(i))^{2}&\geq (x(1)-x(n))^{2}\\\end{aligned}}$

ให้ $\delta (i)=x(i+1)-x(i)$ และนิยาม vector ขนาด n-1 เพิ่มดังนี้ $a(i)=1$ และ $b(i)=\delta (i)$

จากCauchy–Schwarz inequality ได้ว่า

${\begin{aligned}a^{T}a\cdot b^{T}b&\geq |a^{T}b|^{2}\\(n-1)\cdot \sum \limits _{i=1}^{n-1}\delta (i)^{2}&\geq |\sum \limits _{i=1}^{n-1}\delta (i)|^{2}\\(n-1)\sum \limits _{i=1}^{n-1}(x(i+1)-x(i))^{2}&\geq |x(1)-x(n)|^{2}\\&\geq (x(1)-x(n))^{2}\end{aligned}}$

ตามต้องการ

---

และเราจะแสดงให้เห็นว่า $\lambda _{2}(P_{n})=\Theta ({\frac {1}{n^{2}}})$ โดยประกอบด้วยสองขั้นตอน

1.$\lambda _{2}(P_{n})=O({\frac {1}{n^{2}}})$

---

สร้างเวคเตอร์ x โดยให้ $x(i)=(n+1)-2i$ จะเห็นว่า x ตั้งฉากกับ ${\bar {1}}$

คำนวณ ${\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(x(i+1)-x(i))^{2}}{\sum \limits _{i=1}^{n}(x(i)^{2}}}$

จาก Courant–Fischer Theorem จะเห็นว่า $\lambda _{2}=O({\frac {1}{n^{2}}})$

---

2.$\lambda _{2}(P_{n})=\Omega ({\frac {1}{n^{2}}})$

---

หาค่าคงที่ c ที่

$c\cdot P_{n}\succeq K_{n}$ และเรารู้ว่า $K_{n}=\sum \limits _{i,j}G_{i,j}$

จึงได้ว่า

${\begin{aligned}\sum \limits _{i>j}(i-j)P_{n}&\succeq K_{n}\\{\frac {n(n+1)(n-1)}{6}}P_{n}&\succeq K_{n}\\\therefore \Omega ({\frac {1}{n^{2}}})&\leq \lambda _{2}(P_{2})\\\end{aligned}}$

$\lambda _{2}(P_{n})=\Omega ({\frac {1}{n^{2}}})$

---

$\forall \epsilon >0$ จะมี ค่า d > 0 ที่ถ้า n มีขนาดมากพอ จะมี d-regular graph $G_{n}$ ที่ $(1+\epsilon )G_{n}\succeq K_{n}\succeq {\frac {G_{n}}{(1+\epsilon )}}$

และสำหรับ Complete binary tree ที่มีความลึก d แทนด้วย $T_{d}$ เราจะได้ว่า

$\Omega ({\frac {1}{n\cdot log(n)}}\leq \lambda _{2}(T_{d})\leq {\frac {2}{n-1}})$

โดยการใช้วิธีเดียวกับการพิสูจน์ด้านบน โดยสร้างเวคเตอร์ x ที่ x(root) = 0 และลูกฝั่งซ้ายทั้งหมดเป็น 1 ฝั่งขวาทั้งหมดเป็น -1