Spectral Graph Theory
บทนำและทบทวนพีชคณิตเชิงเส้น (ณัฐวุฒิ) เนื้อหา: Eigenvector, Eigenvalue คุณสมบัติของ Eigenvalue ต่อกราฟ (ธานี,ณัฐวุฒิ) เนื้อหา: ผลหาร Rayleigh, คุณสมบัติของเมตริกซ์ Laplacian ทดลอง: วาดกราฟจาก Eigenvector คุณสมบัติของ Eigenvalue ต่อกราฟ[2] (ภัทร) เนื้อหา: Eigen value properties คุณสมบัติของ Eigenvalue ลำดับที่สองบนกราฟต่างๆ (ธานี) เนื้อหา: Second eigen value Cheeger Inequality (ศุภชวาล) เนื้อหา: Cheeger Inequality การทดลอง Cheeger Inequality และ Effective Resistance (ธานี) เนื้อหา: Effective Resistance ทดลอง: หา cut ที่มีคุณสมบัติตรงกับ Cheeger Inequality Random Walks และ Psuedo Random Generator (ศุภชวาล) เนื้อหา: Random Walks Psuedo Random Generator[2] (ภัทร) เนื้อหา: Psuedo Random Generator Coding Theory และ Expander code (ธานี) เนื้อหา: Coding Theory Expander graph from Linear coding (ภัทร) เนื้อหา: Expander construction Chebyshev polynomial (ศุภชวาล) เนื้อหา: Chebyshev polynomial Preconditioning (ธานี) เนื้อหา: Preconditioning
แก้ไขกล่องนี้ • แก้ไขสารบัญ

บันทึกคำบรรยายวิชา Spectral graph theory นี้ เป็นบันทึกที่นิสิตเขียนขึ้น เนื้อหาโดยมากยังไม่ผ่านการตรวจสอบอย่างละเอียด การนำไปใช้ควรระมัดระวัง

ในสัปดาห์นี้ เราได้พูดถึง Courant–Fischer Theorem

Courant–Fischer Theorem

ให้ A เป็น symmetric matrix ขนาด n ที่มี eigen value $\mu _{1}\geq \mu _{2}\geq \ldots \geq \mu _{n}$ (สังเกตว่าเรียงสลับด้านกับ ในเลคเชอร์อื่นๆ)

เราจะได้ว่า

Graphic Inequality

เป็นการเปรียบเทียบกราฟโดยให้ sense ของการ "มากกว่า" "น้อยกว่า" เหมือนการเปรียบเทียบจำนวนจริง
ให้ A เป็น matrix ใดๆ เราเขียนแทนว่า A เป็น positive semi-definite ด้วย โดยนิยามดังนี้

และสำหรับ matrix A,B ใดๆ เราเขียน $A\succeq B$ แทน โดยความสัมพันธ์นี้มีคุณสมบัติถ่ายทอด คือ

Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 620216790 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 01 Feb 2026 02:51:52 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49

ทำนองเดียวกัน สำหรับกราฟ G,H ใดๆ เราเขียน $G\succeq H$ แทน $L_{G}\succeq L_{H}$ สังเกตว่า ถ้า H เป็น subgraph ของ G จะได้ว่า

และสำหรับจำนวนจริง c ใดๆเราเขียนแทน $G\succeq c\cdot H$ หมายถึง $L_{G}\succeq c\cdot L_{H}$

จากนิยามข้างต้น เราจะได้คุณสมบัติว่า (ในเนื้อหาครั้งนี้ไม่มีการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้)

ถ้า G,H เป็นกราฟที่มีคุณสมบัติว่า $G\succeq c\cdot H$ จะได้ว่า เมื่อ $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

\lambda _{k}(G)

หมายถึง eigen value ตัวที่ k ของกราฟ G

Path Inequality

ให้กราฟขนาด n โหนด แทนกราฟที่มีเส้นเชื่อมเดียว (1,n) และกราฟที่มีเส้นเชื่อม n-1 เส้น $(1,2),(2,3),\ldots ,(n-1,n)$ ตามลำดับ

พิจารณา vector x ขนาด n ใดๆ เราต้องการจะแสดงว่า

${\begin{aligned}(n-1)x^{T}L_{P_{n}}x&\geq x^{T}L_{G_{n}}x\\(n-1)\sum \limits _{i=1}^{n-1}(x(i+1)-x(i))^{2}&\geq (x(1)-x(n))^{2}\\\end{aligned}}$

ให้ และนิยาม vector ขนาด n-1 เพิ่มดังนี้ $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.
Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 624611330 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 01 Feb 2026 02:51:55 GMT
Sensitive client information
IP address: 158.108.32.49

$a(i)=1$ และ $b(i)=\delta (i)$
จากCauchy–Schwarz inequality ได้ว่า

$Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 607250585 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 01 Feb 2026 02:52:07 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49$

ตามต้องการ

และเราจะแสดงให้เห็นว่า โดยประกอบด้วยสองขั้นตอน

1.

สร้างเวคเตอร์ x โดยให้ $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.
Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 651467552 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 01 Feb 2026 02:51:55 GMT
Sensitive client information
IP address: 158.108.32.49

$x(i)=(n+1)-2i$ จะเห็นว่า x ตั้งฉากกับ $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 636892835 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 01 Feb 2026 02:52:09 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49$
คำนวณ $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.
Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 657424958 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 01 Feb 2026 02:51:56 GMT
Sensitive client information
IP address: 158.108.32.49

${\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(x(i+1)-x(i))^{2}}{\sum \limits _{i=1}^{n}(x(i)^{2}}}$
จาก Courant–Fischer Theorem จะเห็นว่า $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.
Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 654741045 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 01 Feb 2026 02:51:56 GMT
Sensitive client information
IP address: 158.108.32.49

$\lambda _{2}=O({\frac {1}{n^{2}}})$

2. $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

\lambda _{2}(P_{n})=\Omega ({\frac {1}{n^{2}}})

หาค่าคงที่ c ที่
$c\cdot P_{n}\succeq K_{n}$ และเรารู้ว่า
จึงได้ว่า

$Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.
Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 631358903 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 01 Feb 2026 02:51:56 GMT
Sensitive client information
IP address: 158.108.32.49

$\lambda _{2}(P_{n})=\Omega ({\frac {1}{n^{2}}})$

$\forall \epsilon >0$ จะมี ค่า d > 0 ที่ถ้า n มีขนาดมากพอ จะมี d-regular graph $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

G_{n}

ที่

และสำหรับ Complete binary tree ที่มีความลึก d แทนด้วย $T_{d}$ เราจะได้ว่า

โดยการใช้วิธีเดียวกับการพิสูจน์ด้านบน โดยสร้างเวคเตอร์ x ที่ x(root) = 0 และลูกฝั่งซ้ายทั้งหมดเป็น 1 ฝั่งขวาทั้งหมดเป็น -1

Sgt/lecture4

Courant–Fischer Theorem

Graphic Inequality

Error

Path Inequality

Error

Error

Error

Error

Error

Error

Error

รายการเลือกการนำทาง

เครื่องมือส่วนตัว

เนมสเปซ

สิ่งที่แตกต่าง

ดู

เพิ่มเติม

ค้นหา

การนำทาง

เครื่องมือ