Sgt/lecture6

บันทึกคำบรรยายวิชา Spectral graph theory นี้ เป็นบันทึกที่นิสิตเขียนขึ้น เนื้อหาโดยมากยังไม่ผ่านการตรวจสอบอย่างละเอียด การนำไปใช้ควรระมัดระวัง

สัปดาห์นี้ เราเรียนรู้ถึงการนำ linear algebra ไปใช้แก้ปัญหาทางฟิสิกส์

ให้ weighted undirected graph G = (V,E) ขนาด n nodes m edges แทนวงจรไฟฟ้า โดยให้ node แทนจุดต่างๆในวงจร
และ edge (u,v) แทนตัวต้านทาน โดยน้ำหนักของ edge เท่ากับ 1/ความต้านทาน

นิยาม Matrix 4 matrices ดังนี้

1. U เป็น m*n เมทริกซ์ โดยสำหรับทุก edge (x,y) , U(x,y) = 1 และ U(y,x) = -1

2. W เป็น m*m diagonal เมทริกซ์ โดย W(x,x) คือน้ำหนักของ edge ที่ x

3. ${\bar {v}}$ เป็น vector ขนาด n โดย คือศักย์ไฟฟ้า ณ node x

4. i เป็น vector ขนาด m โดย i(x) คือกระแสไฟฟ้าที่ไหลบน edge ที่ i

จะได้ว่า

จากกฎทางไฟฟ้าทำให้ได้ว่า ณ จุดใดๆของวงจร กระแสไฟฟ้าเข้าจะเท่ากับกระแสไฟฟ้าออก

และเพื่อให้เข้าใกล้การใช้งานจริงมากยิ่งขึ้น เราจะนิยามเวคเตอร์ $i_{ext}$ โดย ค่าของเวคเตอร์นี้ที่โหนดใดๆ หมายถึงค่าของกระแส ที่ไหลเข้า/ออก จากกราฟ โดยผ่านโหนดนั้นๆ

จะเห็นว่า $i_{ext}=U^{T}i=U^{T}WUv$ ซึ่ง laplacian ของ G นั้น มีค่าดังนี้

จึงสามารถเขียนได้ในรูป

ถ้าให้ $L^{+}$ เป็น pseudo-inverse ของ L เราจะสามารถหา effective resistance ระหว่างจุด a,b ของกราฟ G ได้ด้วยสมการ

$i_{ext}L^{+}i_{ext}$ เมื่อกำหนดให้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 184534616
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 27 Sep 2026 00:00:33 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$i_{ext}(a)=1,i_{ext}(b)=-1$ และเป็นศูนย์ที่จุดอื่น