ผลต่างระหว่างรุ่นของ "418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น I"
Aoy (คุย | มีส่วนร่วม) (→ข้อ 3) |
Aoy (คุย | มีส่วนร่วม) (→ข้อ 7) |
||
| (ไม่แสดง 3 รุ่นระหว่างกลางโดยผู้ใช้ 2 คน) | |||
| แถว 3: | แถว 3: | ||
# จำนวนหัวเท่ากับจำนวนก้อย | # จำนวนหัวเท่ากับจำนวนก้อย | ||
# จำนวนหัวมากกว่าจำนวนก้อย | # จำนวนหัวมากกว่าจำนวนก้อย | ||
| − | # ในการโยนเหรียญครั้งที่ i | + | # ในการโยนเหรียญครั้งที่ i และการโยนเหรียญครั้งที่ 11-i มีหน้าที่ออกเหมือนกัน สำหรับ i = 1, 2, 3, 4, 5 |
# เหรียญออกหัวติดต่อกันอย่างน้อย 4 ครั้ง | # เหรียญออกหัวติดต่อกันอย่างน้อย 4 ครั้ง | ||
| แถว 19: | แถว 19: | ||
== ข้อ 3 == | == ข้อ 3 == | ||
| − | [Mitzenmacher & Upfal 1.9] โยนเหรียญไม่ถ่วงน้ำหนัก n ครั้ง และให้ k เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 0 จงหาขอบเขตบนของความน่าจะเป็นที่จะมีหัวติดกัน <math>log_2 n + k \,</math> ครั้ง | + | [Mitzenmacher & Upfal 1.9] โยนเหรียญไม่ถ่วงน้ำหนัก n ครั้ง และให้ k เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 0 จงหาขอบเขตบนของความน่าจะเป็นที่จะมีหัวติดกัน <math>\log_2 n + k \,</math> ครั้ง |
[[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น I/เฉลยข้อ 3|เฉลย]] | [[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น I/เฉลยข้อ 3|เฉลย]] | ||
| แถว 42: | แถว 42: | ||
# พิจารณาเซต <math>\{1, 2, 3, \ldots, n \}</math> เราจะทำการสร้างซับเซต X ของเซตข้างต้นด้วยกระบวนการดังต่อไปนี้: ทำการโยนเหรียญไม่ถ่วงน้ำหนัก n ครั้ง ถ้าในการโยนเหรียญครั้งที่ i ปรากฎว่าเหรียญออกหัว เราจะกำหนดให้เลข i เป็นสมาชิกของ X มิเช่นนั้นเรากำหนดให้ i ไม่เป็นสมาชิกของ X จงแสดงว่าสำหรับซับเซต X ของเซต <math>\{1, 2, 3, \ldots, n \}</math> ใดๆ ความน่าจะเป็นซับเซตทุกซับเซตจะเป็นผลลัพธ์ของกระบวนการนี้มีค่าเท่าๆ กัน | # พิจารณาเซต <math>\{1, 2, 3, \ldots, n \}</math> เราจะทำการสร้างซับเซต X ของเซตข้างต้นด้วยกระบวนการดังต่อไปนี้: ทำการโยนเหรียญไม่ถ่วงน้ำหนัก n ครั้ง ถ้าในการโยนเหรียญครั้งที่ i ปรากฎว่าเหรียญออกหัว เราจะกำหนดให้เลข i เป็นสมาชิกของ X มิเช่นนั้นเรากำหนดให้ i ไม่เป็นสมาชิกของ X จงแสดงว่าสำหรับซับเซต X ของเซต <math>\{1, 2, 3, \ldots, n \}</math> ใดๆ ความน่าจะเป็นซับเซตทุกซับเซตจะเป็นผลลัพธ์ของกระบวนการนี้มีค่าเท่าๆ กัน | ||
# สมมติว่าซับเซต X และ Y ของ <math>\{1, 2, 3, \ldots, n \}</math> ถูกเลือกมาโดยเป็นอิสระจากกันและโดยที่เซตทุกเซตมีความน่าจะเป็นที่จะถูกเลือกเท่าๆ กัน จงหาค่า <math>\Pr(X \subseteq Y) \,</math> และ <math>\Pr(X \cup Y = \{ 1,2, \ldots, n \}) \,</math> | # สมมติว่าซับเซต X และ Y ของ <math>\{1, 2, 3, \ldots, n \}</math> ถูกเลือกมาโดยเป็นอิสระจากกันและโดยที่เซตทุกเซตมีความน่าจะเป็นที่จะถูกเลือกเท่าๆ กัน จงหาค่า <math>\Pr(X \subseteq Y) \,</math> และ <math>\Pr(X \cup Y = \{ 1,2, \ldots, n \}) \,</math> | ||
| + | |||
| + | [[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น I/เฉลยข้อ 7|เฉลย]] | ||
== ข้อ 8 == | == ข้อ 8 == | ||
[Rosen 4.5.8] จงแสดงว่าสำหรับเหตุการณ์ <math>E_1, E_2, \ldots, E_n</math> ใดๆ <math>\Pr(E_1 \cap E_2 \cap \dotsb \cap E_n) \geq \Pr(E_1) + \Pr(E_2) + \dotsb + \Pr(E_n) - (n-1) \,</math> | [Rosen 4.5.8] จงแสดงว่าสำหรับเหตุการณ์ <math>E_1, E_2, \ldots, E_n</math> ใดๆ <math>\Pr(E_1 \cap E_2 \cap \dotsb \cap E_n) \geq \Pr(E_1) + \Pr(E_2) + \dotsb + \Pr(E_n) - (n-1) \,</math> | ||
| + | |||
| + | [[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น I/เฉลยข้อ 8|เฉลย]] | ||
รุ่นแก้ไขปัจจุบันเมื่อ 08:45, 3 สิงหาคม 2552
ข้อ 1
[Mitzenmacher & Upfal 1.1] โยนเหรียญไม่ถ่วงน้ำหนัก 10 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่
- จำนวนหัวเท่ากับจำนวนก้อย
- จำนวนหัวมากกว่าจำนวนก้อย
- ในการโยนเหรียญครั้งที่ i และการโยนเหรียญครั้งที่ 11-i มีหน้าที่ออกเหมือนกัน สำหรับ i = 1, 2, 3, 4, 5
- เหรียญออกหัวติดต่อกันอย่างน้อย 4 ครั้ง
ข้อ 2
[Mitzenmacher & Upfal 1.3] เราสับไพ่สำรับหนึ่ง แล้วได้การเรียงสับเปลี่ยนไ่พ่มาหนึ่งแบบ โดยที่การเรียงสับเปลี่ยนไพ่ทั้ง 52! แบบทุกๆ แบบมีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆ กัน จงหาความน่าจะเป็นที่
- ไพ่สองใบแรกมี A อยู่อย่างน้อย 1 ใบ
- ไพ่ห้าใบแรกมี A อยู่อย่างน้อย 1 ใบ
- ไพ่สองใบแรกมีแต้มเท่ากัน
- ไพ่ห้าใบแรกเป็นข้าวหลามตัดทั้งหมด
- ไพ่ห้าใบแรกมีแต้มเป็นเห่า (full house) คือมีไพ่สามใบแต้มเท่ากัน (ตอง) และอีกสองใบที่เหลือมีแต้มเท่ากันอีก (คู่)
ข้อ 3
[Mitzenmacher & Upfal 1.9] โยนเหรียญไม่ถ่วงน้ำหนัก n ครั้ง และให้ k เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 0 จงหาขอบเขตบนของความน่าจะเป็นที่จะมีหัวติดกัน ครั้ง
ข้อ 4
[Mitzenmacher & Upfal 1.10] มีเหรียญไม่ถ่วงน้ำหนัก 1 เหรียญ และเหรียญที่หน้าเป็นหัวทั้งสองหน้าอยู่หนึ่งเหรียญ สมมติว่าคุณเลือกเหรียญมาเหรียญหนึ่งจากสองเหรียญนี้ด้วยความน่าจะเป็นเท่าๆ กันแล้วโยน ปรากฎว่าเหรียญขึ้นหัว จงหาความน่าจะเป็นที่คุณเลือกเหรียญที่หน้าทั้งสองหน้าเป็นหัว
ข้อ 5
[Mitzenmacher & Upfal 1.12] สมมติว่าประชากร 2% ของทั้งหมดเป็นโรคทางกรรมพันธุ์ X และสมมติว่าเราเลือกสุ่มคนหนึ่งคนมาโดยคนทั้งหมดมีโอกาสถูกสุ่มเลือกเท่าๆ กัน แล้วนำคนคนนี้มาตรวจว่าเป็นโรค X หรือไม่ เราทราบว่าถ้าผู้ถูกตรวจเป็นโรค การตรวจจะให้ผลเป็นบวก (เป็นโรค) ด้วยความน่าจะเป็น 0.999 แต่ถ้าผู้ถูกตรวจไม่เป็นโรค การตรวจจะให้ผลเป็นบวกด้วยความน่าจะเป็น 0.005 ถ้าหากผลการตรวจออกมาเป็นบวก จงหาความน่าจะเป็นที่ผู้ถูกสุ่มตรวจนี้จะเป็นโรค X
ข้อ 6
[Mitzenmacher & Upfal 1.15] โยนลูกเต๋าธรรมดา (มี 6 หน้า) จำนวน 10 ครั้ง โดยที่การโยนแต่ละครั้งเป็นอิสระจากกัน จงหาความน่าจะเป็นที่ผลรวมของแต้มทั้งหมดหารลงตัวด้วย 6 (ใบ้: พิจารณากรณีที่เราโยนลูกเต๋าไปแล้ว 9 ครั้งแต่ยังไม่ได้โยนครั้งที่ 10)
ข้อ 7
[Mitzenmacher & Upfal 1.22]
- พิจารณาเซต เราจะทำการสร้างซับเซต X ของเซตข้างต้นด้วยกระบวนการดังต่อไปนี้: ทำการโยนเหรียญไม่ถ่วงน้ำหนัก n ครั้ง ถ้าในการโยนเหรียญครั้งที่ i ปรากฎว่าเหรียญออกหัว เราจะกำหนดให้เลข i เป็นสมาชิกของ X มิเช่นนั้นเรากำหนดให้ i ไม่เป็นสมาชิกของ X จงแสดงว่าสำหรับซับเซต X ของเซต ใดๆ ความน่าจะเป็นซับเซตทุกซับเซตจะเป็นผลลัพธ์ของกระบวนการนี้มีค่าเท่าๆ กัน
- สมมติว่าซับเซต X และ Y ของ ถูกเลือกมาโดยเป็นอิสระจากกันและโดยที่เซตทุกเซตมีความน่าจะเป็นที่จะถูกเลือกเท่าๆ กัน จงหาค่า และ
ข้อ 8
[Rosen 4.5.8] จงแสดงว่าสำหรับเหตุการณ์ ใดๆ
